梁のたわみの計算式（単純梁・等分布荷重 δ＝5wL⁴/384EI）

最大たわみは δ ＝ 5wL⁴ ÷（384EI）で求めます。記号と例題です。

単純梁・等分布荷重の最大たわみ

両端を支えた梁（単純梁）の全長に、等しい大きさの荷重（等分布荷重）がかかるとき、たわみはスパンの中央でいちばん大きくなります。その最大たわみ δ は次の式で求めます（岩手県・群馬県のスパン表と同じ式です）。

梁全体の荷重 W（＝ w × L）で書くと δ ＝ 5 W L³ ÷（384 E I） です。北海道立総合研究機構 林産試験場の解説と、木のいえづくりセミナーの公式の表（表2-14）は、この形で書いています。どちらで計算しても同じ値になります。

単位は mm と N にそろえます。梁の荷重 w は N/m で入力し、式の中では 1,000 で割って N/mm にします。ヤング係数が kN/mm² のときは 1,000 倍、N/cm² のときは 100 で割って N/mm² にします。

例題（木のいえづくりセミナー 2-6）

2階の床梁（スギ E70）を 120 × 270 mm・有効長さ 4 m と仮定した例題です。床の固定荷重 800 N/m² と、たわみの計算に使う積載荷重 600 N/m² に、負担する幅 2 m を掛けて、梁の荷重は 2,800 N/m です。ヤング係数は E70 を 70 × 1,000 × 9.8 kgf/cm² ＝ 686,000 N/cm²、つまり 6,860 N/mm² としています。

セミナーの値（断面二次モーメント 19,683 cm⁴・W ＝ 11,200 N・変形増大係数を掛けたたわみ 1.38 cm ≦ 1.6 cm）と同じです。このアプリの計算結果は 13.8 mm（スパンの 1/289）で、判定は「○ 満たす」です。なお、セミナーの図の中の字は「L/300 ＝ 1.6 cm」ですが、4,000 mm ÷ 300 は 13.3 mm で、1.6 cm は 4,000 mm ÷ 250 の値です。本文のとおり 1/250 で確かめた例です。

例（セミナー 2-5 の条件2・集成材）

スギの構造用集成材 E75-F240（ヤング係数 735,000 N/cm² ＝ 7,350 N/mm²）の 150 × 360 mm（I ＝ 58,320 cm⁴）に、2 kN のおもり 10 個（W ＝ 20,000 N）を均等に載せた、スパン 6 m の例です。最大たわみは 13.1 mm で、セミナーの値 1.31 cm と同じです。セミナーはこの例で梁の自重とクリープを考えず、スパンの 1/300（2.0 cm）と比べています。告示の確認と同じように変形増大係数 2 を掛けると 26.2 mm になり、スパンの 1/250（24.0 mm）を超えます。このアプリで計算するときは「梁の荷重 w」を選び、20,000 N ÷ 6 m ＝ 約 3,333.3 N/m を入力します。

スパン・せい・幅でたわみはどう変わるか

最大たわみは、スパンの4乗に比例し、断面二次モーメント（せいの3乗と幅）とヤング係数に反比例します。上の例題（6.91 mm）で、スパンを2倍の 8,000 mm にすると 110.60 mm（16倍）、せいを 300 mm にすると 5.04 mm（(270 ÷ 300)³ ＝ 0.729 倍）、幅を2倍の 240 mm にすると 3.46 mm（半分）です。たわみを小さくするには、幅を広げるより、せいを大きくする方が効きます。

ほかの荷重のかかり方の式

木のいえづくりセミナーの表2-14は、代表的な梁のたわみの式を次のようにまとめています（W は荷重・L はスパン）。このアプリが計算するのは、単純梁に等分布荷重がかかる場合だけです。

出典

• 岩手県産カラマツ横架材のスパン表（2005年11月・岩手県林業技術センター）（このページで引いた所: 3.7 δ＝5WL⁴/384EI）
• 群馬県産横架材スパン表（第2版）web版（平成27年10月・群馬県林業試験場・群馬県木材組合連合会）（このページで引いた所: Ⅳ-1 δ＝5wL⁴/384EI）
• 林産試だより 2005年2月号 Q&A「変形増大係数」（北海道立総合研究機構 林産試験場）（このページで引いた所: 長期たわみの式 5L³/384EI × W）
• 木のいえづくりセミナーWeb版（平成23年度 林野庁補助事業 木のまち・木のいえづくり担い手育成技術普及事業） 2-6 横架材検討の実際（このページで引いた所: 2-6 例題）
• 木のいえづくりセミナーWeb版（平成23年度 林野庁補助事業 木のまち・木のいえづくり担い手育成技術普及事業） 2-5 横架材の検討（はりの検討）（このページで引いた所: 2-5-2 条件2・表2-14）

告示と政令のほかは、式と数だけを引いています。