工程能力指数の計算式（Cp・Cpk と上側・下側の指数）

工程能力指数は、公差や平均値から規格までの幅を、ばらつきの 6σ・3σ で割った数です。

Cp と Cpk の式

• USL: 規格上限・LSL: 規格下限（USL − LSL が公差）
• σ: 標準偏差（測定値から求めるときは s）・平均値: ミツトヨの資料の式では X の上に横線を引いた記号（エックスバー）
• min(Cpu, Cpl): Cpu と Cpl の小さい方

ミツトヨ「品質管理の基礎知識」は、工程能力指数を「対象となる特性の公差を工程能力6σで除した値」とし、両側規格の式を Cp ＝ (USL − LSL) ÷ (6 × σ) と書いています。工程能力は、品質特性が正規分布とみなされるとき「平均値±3σ」あるいは「6σ」で表されます。

Cpk は、同じ資料の＜参考＞のとおり、上側公差幅（USL − 平均値）と下側公差幅（平均値 − LSL）を、工程能力の半分である 3σ で割った値の小さい方です。NIST e-Handbook 6.1.6 は上側を Cpu、下側を Cpl と書き、Cpk ＝ min(Cpl, Cpu) としています。

平均値がずれると Cpk が小さくなる

Cp は公差と標準偏差だけで決まり、平均値がどこにあるかを使いません。ミツトヨの資料も「Cpは単に許容限界と工程のばらつきの関係を表したもので、工程平均の位置は考慮されていない」と注意しています。平均値が規格の中心にあれば Cpu と Cpl は同じで、Cpk は Cp と同じ値です。平均値が中心からずれると、近い側の指数が小さくなります。

規格上限 10.05・規格下限 9.95・標準偏差 0.01 のまま、平均値だけを変えた例です。

平均値が 0.01 ずれるごとに、Cpk は 0.33 ほど下がります。Cp はどの行も 1.67 のままです。

かたよりの k を使う式

NIST e-Handbook 6.1.6 は、規格の中心 m と平均値の隔たりを、公差の半分で割った数を k とし、Cpk ＝ Cp(1 − k) とも書けるとしています。平均値が規格の中にあれば k は 0 から 1 の間なので、Cpk は Cp 以下です。同じ資料には Cp ＝ (Cpu ＋ Cpl) ÷ 2 の関係もあります。上の表の k の列は、この式で求めた数です。

例題（NIST e-Handbook 6.1.6）

規格上限 20・規格下限 8・平均値 16・標準偏差 2 の工程です。

• Cp ＝ (20 − 8) ÷ (6 × 2) ＝ 1.00
• Cpu ＝ (20 − 16) ÷ (3 × 2) ＝ 0.666667 → 0.67
• Cpl ＝ (16 − 8) ÷ (3 × 2) ＝ 1.333333 → 1.33
• Cpk ＝ min(0.67, 1.33) ＝ 0.67
• m ＝ 14・k ＝ |14 − 16| ÷ 6 ＝ 0.333333・Cp × (1 − k) ＝ 0.67

NIST e-Handbook の計算結果も Cp 1.0・k 0.3333・Cpk 0.6667・Cpu 0.6667・Cpl 1.3333 です。Cp が 1.00 なので、平均値が規格の中心 14 にあれば規格に収まる工程ですが、平均値が 16 にずれているため Cpk は 0.67 です。同じ資料は、Cpk は少なくとも 1.0 にしたいので、この工程はよくないとし、ばらつきを小さくするか平均値を中心に寄せるとしています。

正規分布の前提

工程能力指数は、特性が正規分布に従うことを前提にしています（ミツトヨ「品質管理の基礎知識」）。NIST e-Handbook 6.1.6 も、Cp・Cpk は母集団が正規分布であることを前提にした指数だとしています。測定値のヒストグラムが左右対称の釣鐘形から大きく外れるときは、指数の値をそのまま不適合品の割合に読み替えられません。

出典

• ミツトヨ 精密測定機器の豆知識「品質管理の基礎知識」: 工程能力・工程能力指数の定義、両側規格の式、Cpk（＜参考＞）
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 6.1.6「What is Process Capability?」: Cpu・Cpl・k・Cpk ＝ Cp(1 − k) と例題