説明

平均断面法の誤差(錐体・角錐台)と点高法・TIN

断面の形が変わる区間では、平均断面法の土量は実際より大きくなることがあります。

平均断面法が実際の体積と同じになる形

平均断面法は、両端の断面積の平均に距離を掛けます。断面積が距離に対して直線的に(一定の割合で)変わる形では、この値は実際の体積と同じです。断面が同じまま続く形(角柱)と、幅が一定で深さだけが直線的に変わる形(くさび形)がこれに当たります。

例えば幅 4.0 m の溝で、深さが 2.0 m から 0 m まで 20.0 m の間で直線的に浅くなる形は、断面積が 8.0 m² から 0 m² に変わります。平均断面法では(8.0 + 0)÷ 2 × 20.0 = 80.0 m³ で、くさび形の体積 1/2 × 8.0 × 20.0 = 80.0 m³ と同じです。

角錐台・錐体の形では大きめになる

断面の幅と高さが両方とも直線的に変わる形(両端の断面が相似の角錐台)の体積は、高さ(距離)L、両端の面積 A1・A2 で次の式です。

角錐台の体積 = L ÷ 3 ×(A1 + A2 + √(A1 × A2)) 平均断面法との差 = L ÷ 6 ×(√A1 − √A2)²

A1 と A2 の単位は m²、L は m、体積は m³ です。

形(A1・A2・L)平均断面法角錐台・錐体の式
角錐台(40.0・10.0・20.0)500.0466.7
錐体(40.0・0・20.0)400.0266.7

角錐台の例の差は 33.3 m³(20.0 ÷ 6 ×(√40 − √10)² = 20.0 ÷ 6 × 10)です。錐体の形では、平均断面法の値は錐体の体積の1.5倍になります。差は両端の断面積の違いが大きいほど大きく、両端の断面積が同じなら 0 です。

区間を短くすると差は小さくなる

同じ錐体(底の面積 40.0 m²・高さ 20.0 m)でも、途中の断面を測って区間を分けると、平均断面法の値は錐体の体積(266.7 m³)に近づきます。途中の断面積は、頂点からの距離の2乗に比例します。

区間の分け方断面積(m²)土量(m³)
1区間(20.0 m)40.0・0400.0
2区間(10.0 m ごと)40.0・10.0・0300.0
4区間(5.0 m ごと)40.0・22.5・10.0・2.5・0275.2

切土と盛土の境(断面積が 0 になる所)の近くや、地形が大きく変わる所では、測点の間で断面の形が大きく変わるので、この差が出やすくなります。

平均断面法以外の方法

要領は、体積の計算を「数学公式によるほか」平均断面法で算出するとしています。形の分かっている構造物の土量は、数学公式(錐体の式など)でも求められます。土工の数量は、平均断面法か「3次元モデルによる数量算出方法」によることが標準です。

3次元モデルによる方法は、3次元 CAD ソフトなどで、2つの面データ(現地盤と計画の面など)の差から体積を求めます。要領が挙げている方式は次の3つ(ほかに結果を確認できるもの)で、数量算出に用いる点群やサーフェスのメッシュは 50cm 間隔以下の密度とします。

出典

平均断面法で土量を計算する